Теоретические сведения. Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой:

Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой:

(1)

Для процедуры нелинейного метода наименьших квадратов требуется найти минимум:

Частные производные Е(А,С) по А и С равны

и

Если положить частные производные в эти формулы равными нулю и затем упростить эти выражения, то можно получить нормальные уравнения

Полученные уравнения – это нелинейные уравнения с неизвестными Аи С, которые можно решить методом Ньютона. Для этого потребуется только время на вычисления и итерации, для которой нужны хорошие начальные значения для А и С. Во многих пакетах прикладных программ содержатся встроенные подпрограммы и минимизации функций от нескольких переменных, которые можно непосредственно использовать для минимизации функции Е(А,С). Например, симплекс-алгоритм Недлера-Мида можно непосредственно использовать для минимизации и обойтись без данных уравнений.

Степенная прогонка.В некоторых случаях функция имеет вид f(x)=AxM, где М- известная постоянная.

Теорема (степенная прогонка):предположим, что {(xk,yk)}Nk=1- N точек с различными абсциссами. Коэффициент А кривой, построенной методом наименьших квадратов, y=AxM, равен

Благодаря технике МНК видим, что минимум функции Е(А) равен

В данном случае достаточно решить уравнение E’(A)=0. Производная равна

Таким образом, коэффициент А является решением уравнения, которое приводит к равенству, приведенному выше.

Построение кривой по точкам. Метод линеаризации данных для y=CeAx .Требуется выполнить подгонку экспоненциальной кривой вида (1)

y=CeAx.

Первым будет шагом будет логарифмирование обеих частей:

Затем заменим переменные:

В результате получим линейное соотношение между новыми переменными X и Y:

Исходные точки (xk;yk) на плоскости ху преобразовались в точки (Xk;Y)=(xk;ln(yk)) на плоскости XY. Этот процесс называют линеаризация данных. Тогда построенная МНК линия является подгонкой к точкам {(Xk;Yk)}. Нормальными уравнениями для нахождения А и В будут уравнения


После того как А и В найдены, вычисляем параметр С уравнения (1):


2617660972888965.html
2617697515121310.html
    PR.RU™